【概率】宝马与空门问题

已注销370852

你参加一个节目，你面前有三个门可选。其中一个门后面是宝马，另两个是空门。
现在你随便选了一个门准备打开。此时主持人故意打开了一个空门。
现在你可以继续决定打开你之前选定的门，或者改换另一个门。
你可以拿走你打开的门后的东西。
问：换还是不换？中奖概率是多少？
——————————
我觉得关键在于主持人是不是事先知道所有门后的东西，活动环节上是不是故意打开的空门。

如果是故意打开的，换为2/3，不换为1/3
如果是随机打开的，换不换都是50%。

这么想，假如有100扇门，你选择一个，我故意打开一个空门，让你选择是否换。还有99个门未知，你换了
继续循环，我再打开一扇空门，让你继续选择，还有98……
以此类推，越到后面，中奖的概率越大（这个不要质疑）
所以：如果主持人是故意打开的空门的话，要选择换！

如果主持人不是故意的，他也不知道，随机选择的门
这个我不要用通俗的方式解释，只可意会吧……
大概是因为主持人开门过程中，可能会选择到宝马（然后前提条件说了，主持人打开的是空门，所以概率要往我选择到门那边偏）
这个偏……好多人不理解，就是后面证实的东西，会影响前面估计的概率。
就是我上午发的那个贴

如果你儿子有50%概率偷跑出去上网随机选择一家网吧，你们村有1000家网吧，你挨个网吧挨个网吧找了999家，没找到你儿子。
你觉得今天你儿子今天偷跑出去上网可能还是50%吗？

绝心

绝心 发表于 2017-8-26 16:14
仔细想这个问题还挺有意思的
先上一张图 这个图是假设 主持人 已知空门 宝马 故意开空门

第一层  门1 门2 门3   是你未开始选门的概率 1/3
第二层 是当主持人开空门以后 你面临的选择

当你选门1  主持人 开一个空门 他可以开 门2 或者门3
主持人 开门2  你的选择是 开门1 或者门3
主持人 开门3  你的选择是 开门1 或者门2  以此类推 这个时候概率为1/3的 1/2最后还要做一个2选1选择开门1 或者门3         这个时候概率为1/3的 1/2 的1/2

最后的概率应该是1/3 的1/2 的 1/2 也就是1/12

绝心

仔细想这个问题还挺有意思的
先上一张图 这个图是假设 主持人 已知空门 宝马 故意开空门

已注销370852

ubuntu 发表于 2017-8-26 01:29
首先，上过高中不值得炫耀，没上过也不妨碍逻辑思维的生成（严格证明高中的知识还真搞不定），这不是所谓的 ...

看了下，至少你和我结果是相同的，
主持人故意打开空门1/3 2/3
主持人随机打开空门1/2 1/2
我的证明部分在代码里……（具体来说这不算是证明，算是验证）

ubuntu

首先，上过高中不值得炫耀，没上过也不妨碍逻辑思维的生成（严格证明高中的知识还真搞不定），这不是所谓的“直觉”和“认为”的理由。既然三门问题已经有答案了，到底是多少就没必要讨论了，有这个功夫不如想想为什么。
然后是题目的具体内容，这个也有公认的版本，没必要撕，我直接从度娘百科抄了一份：

Mueser 和 Granberg 透过厘清细节，以及对主持人的行为加上明确的介定，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述[5]  ︰
现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。
汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。
参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。
主持人知道每扇门后面有什么。
如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。
参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。
转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？

也就是说，主持人什么都知道，而且尽量随机做到不干扰选手。
最开始理论不完善的时候还有争论，但是现在已经严格证明了，就是不换1/3中奖，换了2/3中奖，肯定要换。具体的证明我刚刚翻了半天也没怎么看懂，能看懂的都不是严格证明。不过我可以举这样一个例子，如果把门的数量改成10000个，随便选一个的成功概率显然只有万分之一，基本不可能中奖，这时候给你去掉9998个错误答案，你告诉我换不换？

至于主持人不知道信息，随机打开一个刚好是空门的情况，完全是另一个问题，其实在打开的是空门这里已经默认否决了打开了汽车的可能，因此算条件概率的话只需要1/2就可以了，这个跟后面网吧的问题很像。
网吧的概率很简单，本来每个网吧的概率是0.5/1000=0.0005，在家的概率是0.5，所以最后一家的概率是0.0005/（0.5+0.0005）=1/1001.
这个题目我换个说法肯定就没有异议了：有2000家网吧，已知去了网吧而且每家的概率相等，不过后面1000家都是你自己开的，就相当于没出门。那么我现在排除了前面999家，别人家的网吧就剩一个了，还有你自己家里1000个，问在别人家网吧的概率是多少，在你自己家网吧的概率是多少？

已注销370852

拉面 发表于 2017-8-24 14:56
最近你沉迷这些题目  要不 你去研究下 四色定理

只能用直觉……

拉面

最近你沉迷这些题目  要不 你去研究下 四色定理

已注销370852

1079945484 发表于 2017-8-24 12:10
没上过高中也没关系，学历并不能代表什么。

这就跟酒鬼问题就有点类似了，打开了一扇门(找了一家酒吧) ...

你用程序模拟试试
我坚持我的认为

丿夜曲

如枫随风TYZ 发表于 2017-8-24 10:43
我没有上过高中……
我的直觉和大概推理
如果主持人是随机打开的，并且打开的是空门

没上过高中也没关系，学历并不能代表什么。

这就跟酒鬼问题就有点类似了，打开了一扇门(找了一家酒吧)，事件的概率会受到影响。
你是从主角的角度来计算概率的，这样也是可以的，但是你要分析到位，不能忽略任何一种情况，总之，所有事件的概率之和要为1，我是从主持人的角度来考虑的，刚刚我已经分析过了，抽到宝马的概率是2/3。

已注销370852

1079945484 发表于 2017-8-24 09:41
那要按主持人打开之后来计算，这样就会改变前一事件发生的概率了。

现在主持人是随机打开，是一个未知 ...

我没有上过高中……
我的直觉和大概推理
如果主持人是随机打开的，并且打开的是空门
那么我选择到宝马的几率不是1/3了（因为主持人打开空门的几率，受我的选择而不一样，如果我选到宝马，主持人100%打开空门，如果我选择空门，主持人只有50%几率开到空门）
然而主持人没有开到空门，所以偏向我打开的就是宝马